Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Asignatura: Análisis numérico I
Profesora:
Mónica Zaima Víquez Cano
Alumno: Eduardo Orduña Jaramillo
Semestre: 2016-1 B2
Unidad 2. Actividad 3
Fecha de
entrega: 4 de mayo de 2016
Unidad
2. Actividad 3. “Influencia de errores”
Muchas veces se nos presentan distintas posturas
filosóficas, teorías matemáticas y físicas de cierta forma en la que es fácil
entenderlas como si la realidad que percibimos a través de nuestros sentidos
fuera una aproximación a un universo platónico y perfecto conformado por
sólidos regulares, perfectamente continuos y delicadamente sincronizados con la
que debemos conformarnos.
A lo largo del siglo XX ha habido varios momentos en
el desarrollo de la física y la matemática que han puesto este punto a debate.
Investiga y debate con tus compañeros como los
siguientes temas influyen en tu concepto de Error.
a) Determinismo
y el demonio de Laplace.
b) El
principio de incertidumbre de Heissenberg.
c) Edward
N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.
d) El
problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel.
Quizá el concepto de error está en mí a través de
decidir tomar o no una idea, que si bien proviene de otra época, también se
crea filosóficamente y quizá se pueda actualizar a los tiempos modernos. Por
ejemplo, en cuanto al determinismo y el demonio de Laplace, iniciaré con estas
tres preguntas:
¿El determinismo es falso, o el libre albedrío es
una ilusión?
¿El libre albedrío existe?
Si no, ¿podemos tener cosas como la justicia o la
moral?
Pues resulta ser que Pierre-Simon Laplace suponía
que todo está compuesto de átomos y que los movimientos de los átomos se rigen
por las leyes que Issac Newton descubrió en el siglo 17. Laplace imaginaba un
demonio súper inteligente y matemáticamente dotado, que conoce la posición y
velocidades de todas las partículas del universo en un momento determinado,
junto con todas las leyes de la naturaleza. Afirmó que este demonio podía
calcular las posiciones y velocidades de todas las partículas en cualquier
momento.
Hasta aquí: ¿qué no es esto hablar de la existencia
de un ser supremo: Dios?, no necesariamente y literalmente ese demonio.
El demonio puede predecir donde el cuerpo iba a
estar, y cómo se movería el próximo año a partir de su conocimiento de las
posiciones y velocidades de las partículas en el universo hace un millón de
años.
¿No es esto entonces la omnipresencia de Dios?
El argumento de Laplace depende del hecho de que las
leyes de Newton son deterministas. Muchos filósofos han llegado a la conclusión
de que el determinismo es incompatible con el libre albedrío. En efecto, si los
movimientos de su cuerpo están determinadas por lo que pasó hace un millón de
años. ¿Cómo puede ser que “dependa de ti” si, por ejemplo, vas a levantar la
mano izquierda? Entonces llegan a la conclusión de que o bien el determinismo
es falso, o el libre albedrío es una ilusión. Otros filósofos afirman que para
tener libre albedrío es suficiente para tener un control deliberado sobre si
usted levanta su mano izquierda y que, dicho control es compatible con el
determinismo.
¿Ahora, entonces el destino de cada ser humano?
El demonio de Laplace calcula la forma en que su
cuerpo se moverá mañana a partir de las posiciones de las partículas en el
pasado, lo que le priva del libre albedrío. Se piensa comúnmente que la física
actual nos dice que las leyes fundamentales de la mecánica cuántica no son
deterministas, pero sólo nos dicen probabilidades. Algunos filósofos piensan
que esto resuelve el problema del libre albedrío. Pero es controversial decir
que la mecánica cuántica no es determinista, e incluso si sus leyes son
probabilísticas, es posible que no permiten el libre albedrío.
Entonces: ¿estamos o no predestinados a algo?
El principio de incertidumbre de Heissenberg
El hecho de que cada partícula lleva asociada
consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo
tiempo su posición y su velocidad. Este principio fue enunciado por W.
Heisenberg en 1927.
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en la precisión con
el cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una
partícula.
Un poco más formal:
«Principio de Incertidumbre de
Heisenberg», principio que revela una característica distinta de la mecánica
cuántica que no existe en la mecánica newtoniana. Como una definición simple,
podemos señalar que se trata de un concepto que describe que el acto mismo de
observar cambia lo que se está observando. En 1927, el físico alemán Werner
Heisenberg se dio cuenta de que las reglas de la probabilidad que gobiernan las
partículas subatómicas nacen de la paradoja de que dos propiedades relacionadas
de una partícula no pueden ser medidas exactamente al mismo tiempo. Por
ejemplo, un observador puede determinar o bien la posición exacta de una
partícula en el espacio o su momento (el producto de la velocidad por la masa)
exacto, pero nunca ambas cosas simultáneamente. Cualquier intento de medir
ambos resultados conlleva a imprecisiones.
Como dato curioso: el principio de
incertidumbre desempeñó un importante papel en el desarrollo de la mecánica
cuántica y en el progreso del pensamiento filosófico moderno. En 1932,
Heisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Física. Entre sus numerosos
escritos se encuentran Los principios físicos de la teoría cuántica, Radiación
cósmica, Física y filosofía e Introducción a la teoría unificada de las
partículas elementales.
El Principio de Incertidumbre de
Heisenberg es sin duda algunos unos de los enigmas de la historia, debido a que
este menciona que "Lo que estudias, lo cambias", entonces, si esto es
cierto, ¿Qué tanto a cambiado la realidad de lo que nos narra la historia?
Justo aquí es donde nace la
influencia de concebir el error de una u otra forma, hay siempre
contradicciones en las ideas de cada individuo.
Y no solo así queda el dato
histórico: en 1930, Einstein demostró que el principio de incertidumbre (donde
se afirma la imposibilidad de reducir el error en la posición sin incrementar
el error en el momento) implicaba también la imposibilidad de reducir el error
en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el
cual se toma la medida. Él creyó poder utilizar esta tesis como trampolín para
refutar el principio de incertidumbre, pero Bohr procedió a demostrar que la
refutación tentativa de Einstein era errónea.
Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos
El término Caos se refiere a una
interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida
cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el concepto de caos a menudo puede crear en
nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no
funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es
precisamente el orden.
Durante mucho tiempo la noción de
que en el universo existía un orden total y continuo fue algo innegable, las
teorías de Newton veían al mundo como un compuesto de bloques mecánicos en
interrelación, partes separadas de la realidad que respondían a una
causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este
mecanicismo y predictibilidad, intentamos y nos obsesionamos por predecir
cualquier fenómeno desde una perspectiva reduccionista. Pero es justamente aquí
donde surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde
cualquier factor, por pequeño que parezca, puede afectar el comportamiento y la
evolución de la naturaleza.
Del entendimiento de estos factores
y sus relaciones surge la Teoría del Caos, en la cual existen tres componentes
esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la
naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos
significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Más allá de nuestros
intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de
la sutileza y la ambigüedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones
creativas que vuelven más profundas y armoniosas nuestras vidas.
Lo que Lorenz descubrió es una de
las características definitorias de la teoría del caos, que sistemas dinámicos
no lineales muestran una dependencia sensible sobre condiciones iniciales. Este
concepto se ilustra en la célebre noción del “efecto de mariposa”, que quiere
decir que el aletear de una mariposa en Argentina hoy, podría causar un tornado
en Kansas mañana. Quizás sea un poco sensacional esta imagen, pero lo que ilustra
es que no se puede entender los sistemas dinámicos en la naturaleza al
aislarlos de los sistemas dinámicos del mundo entero. En otras palabras, ya no
es viable la concepción del mundo como la suma de sus partes porque las partes
son sensiblemente conectadas y dependientes la una a la otra. La visión que
esto introduce es una holista y dinámica en lugar de una reductivamente
determinista.
Con esta realización, Lorenz empezó
a buscar otra manera de modelar el sistema del tiempo. En lugar de un
acercamiento cuantitativo, cuyos límites prácticos apenas había visto, intentó
uno cualitativo. Antes de eso, los meteorólogos usaban ecuaciones que producían
atractores de torus multidimensionales, pero la capacidad previsora que
esto ofreció extendió a unos días
nada más. Lo que Lorenz pudo hacer, con la ayuda de la enorme capacidad de
calcular de la computadora, fue trazar las trayectorias complejas de sus
ecuaciones no-lineales. El resultado fue uno de los descubrimientos más
fascinantes de la teoría del caos: el atractor extraño: El atractor se llama
extraño porque reconcilia dos características aparentemente contradictorias:
modela la conducta que es aperiódica, y a la vez delimitada dentro de un área
finita del espacio de fase. Recordemos que la aperiodicidad se refiere al hecho
de una variable que nunca se repite en un patrón. En el espacio de fase quiere
decir que la trayectoria nunca se cruza sino que continua hasta el infinito. Lo
extraño reside en que no se encuentra extendida en un área infinita del espacio
de fase, sino en que las trayectorias convergen hacia una figura definida, o un
área de atracción. La dinámica aquí es parecida a un hilo infinitamente largo
contenido en un espacio finito. ¿Cómo se hace eso? ¿Qué tipo de figura puede
satisfacer tales condiciones? La respuesta se encuentra en la geometría
fractal.
El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel.
El segundo problema de Hilbert
pretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Es decir
partiendo de ellos, un número finito de pasos lógicos, nunca puede conducir a
resultados contradictorios. El famoso teorema de Gödel, establece que en
cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no
se puede probar ni refutar en el mismo
sistema.
El teorema de Gödel es equiparable
por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una
de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos.
Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas,
que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel
demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de
inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir,
basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni
siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder
demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una
diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.
El teorema de Gödel tiene que ver
con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su
famosa frase:” Yo sólo sé que no sé nada”. Se contradecía, al afirmar que sólo
sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada: hacía referencia a sí mismo y
ahí es donde residía su contradicción.
En 1931 Kurt Gödel, un joven
matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo” Sobre
proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas
relacionados” y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre
la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado
por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos
precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que
sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas
simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados
que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del
sistema. De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo
enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas
proposiciones indecidibles.
Gödel nos descubrió que la verdad
es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la
posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de
cualquier sistema matemático formalizado. Penrose utiliza el argumento de Gödel
para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema
matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas
y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad
de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada
dificultad. Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a
base de algoritmos matemáticos, tiene una limitación fundamental independiente
de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo
sean de mayor o menor potencia.
Conclusión y moraleja
A lo largo de la historia, ya sea la matemática o la
filosofía ha tratado de da respuesta a toda clase de enigmas, de este modo, cada
ser pensante, sus ideas y sus resultados pueden dejarnos o no satisfechos de lo
que para ellos ha sido la verdad absoluta, sin embargo, es solo un pasaje de la
historia, la del ser humano la que ha llevado a estar así en nuestros días,
entonces: ¿habremos llegado a saberlo todo?
Moraleja
En un método estable, los errores debidos a las
aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método
inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo
procede.
Referencias
UNADM.
(2015). Análisis Numérico I. México.
Sitios web
